Power Spectrum Schätzmethoden (Advanced Signal Processing Toolkit) Ein Leistungsspektrum beschreibt die Energieverteilung einer Zeitreihe im Frequenzbereich. Energie ist eine realwertige Menge, so dass das Leistungsspektrum keine Phaseninformationen enthält. Da eine Zeitreihe nichtperiodische oder asynchron abgetastete periodische Signalkomponenten enthalten kann, wird das Leistungsspektrum einer Zeitreihe typischerweise als eine kontinuierliche Frequenzfunktion betrachtet. Wenn Sie eine Reihe von diskreten Frequenzbins verwenden, um die kontinuierliche Frequenz darzustellen, ist der Wert in einem bestimmten Frequenzbereich proportional zum Frequenzintervall. Um die Abhängigkeit von der Größe des Frequenzintervalls zu entfernen, können Sie das Leistungsspektrum normalisieren, um die Leistungsspektraldichte (PSD) zu erzeugen, die das Leistungsspektrum ist, dividiert durch die Größe des Frequenzintervalls. Die PSD misst die Signalleistung pro Bandbreite für eine Zeitreihe in V 2 Hz, was implizit annimmt, dass die PSD ein Signal in Volt darstellt, das eine 1 Ohm Last anlegt. Wenn die PSD in einem Dezibel (dB) dargestellt wird, ist die entsprechende Einheit für die PSD dB ref Vsqrt (Hz). Wenn Sie andere Einheiten für die geschätzte PSD einer Zeitreihe verwenden möchten, müssen Sie die Einheit der Zeitreihe in entsprechende Engineering-Einheiten (EU) skalieren. Nach dem Skalieren der Einheit der Zeitreihen erhalten Sie die entsprechende Einheit für den linearen PSD-Wert und den dB-PSD-Wert als EU 2 Hz bzw. dB ref EUsqrt (Hz). Benutze die TSA-Skala nach EU-VI, um das Gerät für eine Zeitreihe auf eine geeignete EU zu skalieren. PSD-Schätzmethoden werden wie folgt klassifiziert: Parametrische Methoden 8212Diese Methoden basieren auf parametrischen Modellen einer Zeitreihe wie AR-Modelle, gleitende Durchschnittsmodelle (MA) und autoregressiv-gleitende Durchschnitts - (ARMA-) Modelle. Daher sind parametrische Methoden auch als modellbasierte Methoden bekannt. Um die PSD einer Zeitreihe mit parametrischen Methoden abzuschätzen, musst du zuerst die Modellparameter der Zeitreihe erhalten. Sie müssen ein passendes Modell erstellen, das korrekt das Verhalten des Systems widerspiegelt, das die Zeitreihe sonst erzeugt, die geschätzte PSD ist möglicherweise nicht zuverlässig. Das Multiple-Signal-Classification (MUSIC) - Verfahren ist auch ein modellbasiertes Spektralschätzverfahren. Nichtparametrische Methoden 8212Diese Methoden, die die Periodogramm-Methode enthalten. Welch-Methode Und Capon-Methode. Basieren auf der diskreten Fourier-Transformation. Sie müssen die Parameter der Zeitreihe nicht erhalten, bevor Sie diese Methoden verwenden. Die primäre Begrenzung der nichtparametrischen Methoden ist, dass die Berechnung die Datenfensterierung verwendet. Was zu einer Verzerrung der resultierenden PSDs aufgrund von Fenstereffekten führt. Der entscheidende Vorteil von nichtparametrischen Methoden ist die Robustheit, da die geschätzten PSDs keine Störspitzen enthalten. Im Gegensatz dazu verwenden parametrische Methoden keine Datenfensterung. Parametrische Methoden gehen davon aus, dass ein Signal für ein bestimmtes Modell passt. Die geschätzten PSDs können Störungsspitzen enthalten, wenn das angenommene Modell falsch ist. PSDs, die mit parametrischen Methoden geschätzt werden, sind weniger voreingenommen und besitzen eine geringere Varianz als PSDs, die mit nichtparametrischen Methoden geschätzt werden, wenn das angenommene Modell korrekt ist. Allerdings sind die Größen der PSDs, die mit parametrischen Methoden geschätzt werden, normalerweise falsch. Hinweis Während der Spektralanalyse können Sie aufeinanderfolgende Spektrummessungen durchführen, um die Schätzvarianz zu reduzieren und die Messgenauigkeit zu verbessern. Verwenden Sie das TSA Average PSD VI, um das geschätzte Spektrum kontinuierlich zu bewerten.12.1: Schätzung der spektralen Dichte Wir haben zuvor das Periodogramm erörtert, ein Funktionsgraph, der Informationen über die periodischen Komponenten einer Zeitreihe anzeigt. Jede Zeitreihe kann als eine Summe von Kosinus - und Sinuswellen ausgedrückt werden, die bei den fundamentalen (harmonischen) Frequenzen jn oszillieren. Mit j 1, 2, n 2. Das Periodogramm gibt Auskunft über die relativen Stärken der verschiedenen Frequenzen zur Erläuterung der Variation der Zeitreihen. Das Periodogramm ist eine Stichprobenschätzung einer Populationsfunktion, die als spektrale Dichte bezeichnet wird, die eine Frequenzdomänencharakterisierung einer stationären Zeitreihe ist. Die spektrale Dichte ist eine Frequenzbereichsdarstellung einer Zeitreihe, die direkt mit der Autokovarianz-Zeitbereichsdarstellung zusammenhängt. Im Wesentlichen enthalten die spektrale Dichte und die Autokovarianzfunktion die gleichen Informationen, aber geben sie auf unterschiedliche Weise aus. Bewertung Hinweis. Die Autokovarianz ist der Zähler der Autokorrelation. Die Autokorrelation ist die Autokovarianz geteilt durch die Varianz. Angenommen, dass (h) die Autokovarianzfunktion eines stationären Prozesses ist und dass f () die spektrale Dichte für denselben Prozess ist. In der Notation des vorherigen Satzes, h Zeitverzögerung und Häufigkeit. Die Autokovarianz und die spektrale Dichte haben die folgenden Beziehungen: In der Sprache des fortgeschrittenen Kalküls sind die Autokovarianz und die spektrale Dichte Fourier-Transformationspaare. Wir sorgen uns nicht um die Kalkül der Situation. Nun konzentrieren sich auf die Schätzung der spektralen Dichte der Frequenzbereich Charakterisierung einer Serie. Die Fourier-Transformationsgleichungen werden hier nur gegeben, um festzustellen, dass es eine direkte Verbindung zwischen der Zeitbereichsdarstellung und der Frequenzbereichsdarstellung einer Reihe gibt. Mathematisch wird die spektrale Dichte sowohl für negative als auch für positive Frequenzen definiert. Aufgrund der Symmetrie der Funktion und ihres Wiederholungsmusters für Frequenzen außerhalb des Bereichs von -12 bis 12 müssen wir jedoch nur mit Frequenzen zwischen 0 und 12 beschäftigt sein. Die gesamte integrierte spektrale Dichte entspricht der Varianz der Serie. Somit kann die spektrale Dichte innerhalb eines bestimmten Frequenzintervalls als die Menge der durch diese Frequenzen erläuterten Varianz betrachtet werden. Methoden zur Schätzung der spektralen Dichte Das Rohperiodogramm ist eine grobe Stichprobenschätzung der Populations-Spektraldichte. Die Schätzung ist grob, zum Teil, weil wir nur die diskreten fundamentalen harmonischen Frequenzen für das Periodogramm verwenden, während die spektrale Dichte über ein Kontinuum von Frequenzen definiert ist. Eine mögliche Verbesserung der Periodogrammschätzung der spektralen Dichte ist es, sie mit Hilfe von zentrierten Bewegungsdurchschnitten zu glätten. Eine zusätzliche Glättung kann durch Verjüngungsmethoden erzeugt werden, die die Enden (in der Zeit) der Reihe weniger als die Mitte der Daten gewichten. Nun nicht decken Verjüngung in dieser Lektion. Interessierte Parteien können Abschnitt 4.5 im Buch und verschiedene Internetquellen sehen. Ein alternativer Ansatz zur Glättung des Periodogramms ist ein parametrischer Schätzungsansatz, der darauf basiert, dass jede stationäre Zeitreihe durch ein AR-Modell einer bestimmten Ordnung angenähert werden kann (obwohl es eine hohe Ordnung sein könnte). Bei diesem Ansatz wird ein geeignetes AR-Modell gefunden, und dann wird die spektrale Dichte als die spektrale Dichte für das geschätzte AR-Modell geschätzt. Glättungsmethode (nichtparametrische Schätzung der spektralen Dichte) Die übliche Methode zum Glätten eines Periodogramms hat einen so ausgefallenen Namen, dass es schwierig klingt. In der Tat, seine nur eine zentrierte gleitende durchschnittliche Verfahren mit ein paar möglichen Modifikationen. Für eine Zeitreihe ist der Daniell-Kernel mit dem Parameter m ein zentrierter gleitender Durchschnitt, der zum Zeitpunkt t einen geglätteten Wert erzeugt, indem alle Werte zwischen den Zeiten t m und t m (einschließlich) gemittelt werden. Zum Beispiel ist die Glättungsformel für einen Daniell-Kernel mit m 2 In R, die Gewichtungskoeffizienten für einen Daniell-Kernel mit m 2 können mit dem Befehlskernel (daniell, 2) erzeugt werden. Das Ergebnis ist coef-2 0,2 coef-1 0,2 coef 0 0,2 coef 1 0,2 coef 2 0,2 Die Indizes für coef beziehen sich auf die Zeitdifferenz von der Mitte des Mittelwertes zum Zeitpunkt t. So ist die Glättungsformel in diesem Fall die gleiche wie die oben angegebene Formel. Der modifizierte Daniell-Kernel ist so, dass die beiden Endpunkte im Mittelwert die Hälfte des Gewichts erhalten, die die Innenpunkte tun. Für einen modifizierten Daniell-Kernel mit m 2 ist die Glättung In R, der Befehlskernel (modifiziert. daniell, 2) listet die gerade verwendeten Gewichtungskoeffizienten auf. Entweder kann der Daniell-Kernel oder der modifizierte Daniell-Kernel gewellt (wiederholt) werden, so dass die Glättung wieder auf die geglätteten Werte angewendet wird. Dies führt zu einer umfangreicheren Glättung durch Mittelung über ein breiteres Zeitintervall. Zum Beispiel, um einen Daniell-Kernel mit m 2 auf den geglätteten Werten zu wiederholen, die aus einem Daniell-Kernel mit m 2 resultierten, wäre die Formel Dies ist der Durchschnitt der geglätteten Werte innerhalb von zwei Zeitperioden t. In beide richtungen In R liefert der Befehlskernel (daniell, c (2,2)) die Koeffizienten, die bei der Mittelung der ursprünglichen Datenwerte für einen gewundenen Daniell-Kernel mit m 2 bei beiden Glätten als Gewichte angewendet würden. Das Ergebnis ist gt kernel (daniell, c (2,2)) coef-4 0,04 coef-3 0,08 coef-2 0,12 coef-1 0,16 coef 0 0,20 coef 1 0,16 coef 2 0,12 coef 3 0,08 coef 4 0,04 Dies erzeugt die Glättung Formel Eine Faltung des modifizierten Verfahrens, bei der die Endpunkte weniger Gewicht haben, ist ebenfalls möglich. Der Befehlskernel (modifiziert. daniell, c (2,2)) gibt diese Koeffizienten: coef-4 0,01563 coef-3 0,06250 coef-2 0,12500 coef-1 0,18750 coef 0 0,21875 coef 1 0,18750 coef 2 0,12500 coef 3 0,06250 coef 4 0,01563 Damit werden die Mittelwerte etwas stärker gewichtet als im unmodifizierten Daniell-Kernel. Wenn wir ein Periodogramm glätten, glätten wir über ein Frequenzintervall und nicht ein Zeitintervall. Denken Sie daran, dass das Periodogramm bei den Grundfrequenzen j jn für j 1, 2, n bestimmt wird. Es sei I (j) den Periodogrammwert bei der Frequenz j jn. Wenn wir einen Daniell-Kernel mit dem Parameter m verwenden, um ein Periodogramm zu glätten, ist der geglättete Wert (Hut (Omegaj)) ein gewichteter Durchschnitt von Periodogrammwerten für Frequenzen im Bereich (j-m) n bis (jm) n. Es gibt L 2 m 1 Grundfrequenzwerte im Bereich (j-m) n bis (jm) n. Die Werte für die Glättung. Die Bandbreite für das geglättete Periodogramm ist definiert als Die Bandbreite ist ein Maß für die Breite des Frequenzintervalls (s), das zum Glätten des Periodogramms verwendet wird. Wenn ungleiche Gewichte in der Glättung verwendet werden, wird die Bandbreitendefinition modifiziert. Bezeichnen Sie den geglätteten Periodogrammwert bei j jn als Hut (omegaj) sum hk I links (omegaj frac rechts). Die h k sind die möglicherweise ungleichen Gewichte, die bei der Glättung verwendet werden. Die Bandbreitenformel wird dann zu Tatsächlich modifiziert, diese Formel arbeitet auch für gleiche Gewichte. Die Bandbreite sollte ausreichen, um unsere Schätzung zu glätten, aber wenn wir eine Bandbreite verwenden, die zu groß ist, gut glatt das Periodogramm zu viel und Miss sehen wichtige Peaks. In der Praxis dauert es in der Regel einige Experimente, um die Bandbreite zu finden, die eine geeignete Glättung ergibt. Die Bandbreite wird überwiegend durch die Anzahl der Werte gesteuert, die in der Glättung gemittelt werden. Mit anderen Worten, der m-Parameter für den Daniell-Kernel und ob der Kernel gewunden (wiederholt) die Bandbreite beeinflusst. Anmerkung: Die Bandbreiten R-Berichte mit ihren Plots stimmen nicht mit den Werten überein, die mit den obigen Formeln berechnet würden. Bitte beachten Sie die Fußnote auf p. 197 von deinem Text für eine Erklärung. Averagingsmoothing das Periodogramm mit einem Daniell-Kernel kann in R mit einer Folge von zwei Befehlen erreicht werden. Der erste definiert einen Daniell-Kernel und der zweite schafft das geglättete Periodogramm. Als Beispiel nehmen wir an, dass die beobachtete Reihe x genannt wird und wir möchten das Periodogramm mit einem Daniell-Kernel mit m 4 glätten. Die Befehle sind k kernel (daniell, 4) spec. pgram (x, k, taper0, log no) Der erste Befehl erzeugt die für die Glättung benötigten Gewichtungskoeffizienten und speichert sie in einem Vektor mit dem Namen k. (Es ist beliebig, es zu nennen. Es könnte man alles nennen.) Der zweite Befehl fragt nach einer spektralen Dichteabschätzung auf der Grundlage des Periodogramms für die Reihe x. Unter Verwendung der in k gespeicherten Gewichtungskoeffizienten ohne Verjüngung, und die Auftragung wird auf einer gewöhnlichen Skala, nicht eine logarithmische Skala sein. Wenn eine Faltung gewünscht wird, könnte der Kernelbefehl auf etwas wie k kernel (daniell, c (4,4)) geändert werden. Es gibt zwei Möglichkeiten, einen modifizierten Daniell-Kernel zu erreichen. Sie können entweder den Kernel-Befehl ändern, um auf das modifizierte. daniell anstatt daniell zu verweisen, oder Sie können mit dem Befehl kernel überspringen und einen Spans-Parameter im Befehl spec. pgram verwenden. Der Spans-Parameter gibt die Länge (2 m 1) des gewünschten modifizierten Daniell-Kernels an. Zum Beispiel hat ein modifizierter Daniell-Kernel mit m 4 die Länge L 2 m 1 9, so dass wir den Befehl spec. pgram (x, spans9, taper 0, logno) verwenden können. Zwei Pässe eines modifizierten Daniell-Kernels mit m 4 bei jedem Pass Kann mit spec. pgram (x, spansc (9,9), taper 0, logno) durchgeführt werden. Beispiel. Dieses Beispiel wird die Fischrekrutierungsreihe verwenden, die an mehreren Stellen im Text verwendet wird, darunter mehrere Orte in Kapitel 4. Die Serie besteht aus n 453 monatlichen Werten einer Maßnahme einer Fischpopulation in einer südlichen Hemisphäre. Die Daten befinden sich in der Datei recruit. dat. Das Rohperiodogramm kann mit dem Befehl erstellt werden (oder es könnte mit der in Lektion 6 angegebenen Methode erstellt werden). Spec. pgram (x, taper0, logno) Beachten Sie, dass wir in dem gerade angegebenen Befehl den Parameter ausgelassen haben, der Gewichte für die Glättung gibt. Das rohe Periodogramm folgt: Die nächste Kurve ist ein geglättetes Periodogramm mit einem Daniell-Kernel mit m 4. Beachten Sie, dass ein Effekt der Glättung ist, dass der dominierende Peak in der ungeglätteten Version nun der zweithöchste Peak ist. Dies geschah, weil der Gipfel so scharf in der ungeglückten Version definiert ist, dass, wenn wir es mit ein paar Umgebungswerten beurteilen, die Höhe reduziert wird. Die nächste Handlung ist ein geglättetes Periodogramm mit zwei Pässen eines Daniell-Kernels mit m 4 bei jedem Pass. Beachten Sie, wie es noch mehr geglättet wird als bisher. Um zu erlernen, wo sich die beiden dominanten Peaks befinden, weisen Sie dem spec. pgram-Ausgang einen Namen zu und dann können Sie ihn auflisten. Zum Beispiel, specvalues spec. pgram (x, k, taper0, logno) specvalues Sie können durch den Ausgang zu durchsuchen, um die Frequenzen zu finden, bei denen die Peaks auftreten. Die Frequenzen und Spektraldichte-Schätzungen werden separat, aber in der gleichen Reihenfolge aufgelistet. Identifizieren Sie die maximalen spektralen Dichten und finden Sie dann die entsprechenden Frequenzen. Hier ist der erste Peak bei einer Frequenz .0229. Die Periode (Anzahl der Monate), die mit diesem Zyklus verknüpft ist 1.0229 43.7 Monate oder ungefähr 44 Monate. Der zweite Peak tritt bei einer Frequenz von 0,083333 auf. Die zugehörige Periode 1.08333 12 Monate. Der erste Peak ist mit einem El Nino Wettereffekt verbunden. Die zweite ist die übliche 12 Monate saisonale Wirkung. Diese beiden Befehle werden vertikale, punktierte Linien auf die (geschätzte) spektrale Dichtekurve an den ungefähren Stellen der Peakdichten setzen. (V144, ltydotted) abline (v112, lty dotted) Heres die daraus resultierende Handlung: Weve geglättet genug, aber für Demonstrationszwecke ist die nächste Handlung das Ergebnis von spec. pgram (x, spansc (13,13), taper0, logno ) Es werden zwei Pässe eines modifizierten Daniell-Kernels mit der Länge L 13 (also m 6) jedes Mal verwendet. Die Handlung ist ein bisschen glatter, aber nicht viel. Die Gipfel sind übrigens genau an denselben Orten wie in der Handlung unmittelbar oben. Es ist definitiv möglich, zu viel zu glätten. Angenommen, wir sollten einen modifizierten Daniell-Kernel der Gesamtlänge 73 (m 36) verwenden. Der Befehl ist spec. pgram (x, spans73, taper0, logno) Das Ergebnis folgt. Die Peaks sind weg Parametrische Schätzung der Spektraldichte Die Glättungsmethode der spektralen Dichteabschätzung wird als nichtparametrische Methode bezeichnet, da sie kein parametrisches Modell für den zugrundeliegenden Zeitreihenprozess verwendet. Eine alternative Methode ist eine parametrische Methode, die die Suche nach dem passendsten AR-Modell für die Serie und dann die Plotterung der spektralen Dichte dieses Modells beinhaltet. Diese Methode wird durch ein Theorem unterstützt, das besagt, dass die spektrale Dichte eines beliebigen Zeitreihenprozesses durch die spektrale Dichte eines AR-Modells (von irgendeiner Ordnung, möglicherweise ein hoher) angenähert werden kann. In R wird die parametrische Schätzung der spektralen Dichte einfach mit der Befehlsfunktion spez. Ein Befehl wie spec. ar (x, logno) wird dazu führen, dass R die ganze Arbeit macht. Wiederum, um Peaks zu identifizieren, können wir den spec. ar-Ergebnissen einen Namen zuweisen, indem wir etwas wie specvaluesspec. ar (x, log no) machen. Für das Fischrekrutierungsbeispiel ist die folgende Handlung das Ergebnis. Beachten Sie, dass die geplante Dichte die eines AR (13) Modells ist. Für diese Daten können wir sicherlich mehr sparsame ARIMA Modelle finden. Verwenden Sie nur die spektrale Dichte dieses Modells, um die spektrale Dichte der beobachteten Reihe zu approximieren. Das Aussehen der geschätzten spektralen Dichte ist etwa er selben wie vorher. Der geschätzte El Nino Peak befindet sich an einem etwas anderen Ort, der Frequenz liegt bei etwa 0,024 für einen Zyklus von etwa 1.024 etwa 42 Monaten. Eine Reihe sollte vor einer Spektralanalyse de-trended werden. Ein Trend wird eine solche dominante spektrale Dichte bei einer niedrigen Frequenz verursachen, dass andere Peaks nicht gesehen werden. Standardmäßig führt der R-Befehl spec. pgram eine De-Trending mit einem linearen Trendmodell durch. Das heißt, die spektrale Dichte wird unter Verwendung der Residuen aus einer Regression geschätzt, wo die y-Variablen beobachteten Daten und die x-Variable t. Wenn eine andere Art von Trend vorhanden ist, beispielsweise eine quadratische, dann könnte eine polynomische Regression verwendet werden, um die Daten zu de-Trend zu machen, bevor die geschätzte spektrale Dichte erforscht wird. Beachten Sie jedoch, dass der R-Befehl spec. ar. Führt jedoch keine De-Trending standardmäßig aus. Anwendung von Smoothers auf Rohdaten Beachten Sie, dass die hier beschriebenen Regler auch auf Rohdaten angewendet werden können. Der Daniell-Kernel und seine Modifikationen sind einfach gleitende durchschnittliche (oder gewichtete gleitende durchschnittliche) Glätte. Navigation16 Spektrale Schätzung Das Spektralschätzproblem für eine diskrete Zeitreihe, die durch einen linearen, zeitinvarianten Prozess erzeugt wird, kann in Form von drei Modellen formuliert werden: autoregressive (AR), gleitender Durchschnitt (MA) und autoregressiv gleitender Durchschnitt (ARMA). Analysenverfahren unterscheiden sich in jeder Leichtigkeit, und Spezifikationsfehler entstehen durch die Anwendung des unangemessenen Algorithmus. Die AR - und MA-Modelle führen jeweils zu den maximalen Entropie - (MEM) und klassischen Lag-Fenster-Ansätzen. Das ARMA-Modell hat viel seismisches Interesse, um die Einheitsimpulsantwort eines horizontal geschichteten Mediums auf diese Weise ausdrücken zu können. Da seine Rückkopplungskomponente die minimale Verzögerungseigenschaft aufweist, hat eine ARMA-Spektralschätzungstechnik, die diese Anforderung erfüllt, eine besondere seismische Relevanz. Eine solche spektrale Schätzung ergibt sich aus der Anwendung eines iterativen Minimalquadrate-Algorithmus auf ausgewählte Gates der beobachteten Zeitreihen. Ein Beispielsatz von synthetischen Zeitreihen dient dazu, den Abbau in der spektralen Schätzung darzustellen, der sich aus einer falschen Spezifikation des Modells ergibt. In den letzten Jahren wurde viel über die Spektralanalyse von diskreten Zeitreihen geschrieben. Es gibt keine einzige korrekte Technik, um das Spektrum in Abwesenheit von Wissen über die Art des Prozesses zu berechnen, der die Daten erzeugt hat. Wie wir in Kapitel 9 gesehen haben, unterscheiden wir zwischen drei möglichen Prozessen: autoregressiver (AR), gleitender Durchschnitt (MA) und autoregressiv gleitender Durchschnitt (ARMA). In technischer Hinsicht beschreiben diese Prozesse jeweils die Allpol - (oder Rückkopplung), die All-Null - (oder Feedforward) und die Pole-zero (oder feedbaek-feedforward) - Systeme. Im Allgemeinen werden wir keine a priori Kenntnisse über den Generator der Zeitreihen haben, und wir sind gezwungen, davon auszugehen, dass unsere aufgezeichneten Daten tatsächlich eine dieser drei Darstellungen erfüllen. Sobald diese Entscheidung getroffen wurde, müssen wir einen geeigneten Algorithmus für die Berechnung der tatsächlichen spektralen Schätzung auswählen. Im Falle des AR - oder Allpol-Modells ist die maximale Entropie-Methode (MEM), wie sie mit einer Technik durch Burg (1967, 1975) durchgeführt wird, geeignet. Für das MA - oder All-Null-Modell greifen wir auf den klassischen Lag-Fenster-Ansatz (Blackman und Tukey, 1959) zurück. In Anhang 16-1 geben wir die Mathematik der klassischen Lag-Fenster-Methode und in Anhang 16-2 die Mathematik der maximalen Entropie-Methode an. Das ARMA - oder Pole-Null-Modell hat auch in der neueren Literatur Aufmerksamkeit erlangt: Es wurden von Anderson (1971, Kap. 5), von Box und Jenkins (1970, Kap. 6 und 7), angepasste spektrale Schätztechniken beschrieben Alam (1978). Die rationale Darstellung der Impulsantwort eines ARMA-Prozesses ergibt sich aus dem Verhältnis zweier Polynome in der komplexen Variablen z. In diesem Kapitel interessieren wir uns besonders für die Spektralanalyse von Seismogrammen. Wie wir in Kapitel 13 gesehen haben, kann die Einheitsimpulsantwort eines vollkommen elastischen, horizontal geschichteten Mediums als das Verhältnis von zwei solchen Polynomen in Potenzen von z ausgedrückt werden. Aber mit der zusätzlichen Einschränkung, dass das Nenner-Polynom die minimale Verzögerungseigenschaft hat. Mit anderen Worten, diese Bedingung zwingt die Pole des Systems, außerhalb der Peripherie des Einheitskreises z 1 in der komplexen Ebene zu liegen, und ermöglicht es uns, das ARMA-Polynomverhältnis in Form einer konvergenten Potenzreihe in z zu erweitern. Es ist daher wünschenswert, einen ARMA-Spektralschätzalgorithmus zu suchen, der einen Minimalverzögerungs-Nenner garantiert. Während es keine intrinsische mathematische Notwendigkeit für eine ARMA-Spektralschätzmethode gibt, um einen Minimum-Delay-Nenner zu produzieren, haben wir gerade gesagt, dass eine solche Quest eine starke körperliche Motivation hat. Dementsprechend ist die Minimalverzögerungseigenschaft des Nenners ein starker Punkt, und eine nicht notwendigerweise. Geteilt von anderen ARMA Spektralschätzern. Inhaltsverzeichnis Sind Sie Mitglied von SEG oder EEGS Wenn Sie ein SEG-Mitglied sind (mit Zugang zu SEG - und EEGS-Zeitschriften, erweiterten Abstracts und Verfahren und vergünstigten Mitgliedspreisen für Einzelkäufe von SEG eBooks) oder Sie haben bereits Zugang zu diesem erhalten Inhalt separat, klicken Sie hier, um sich anzumelden und auf den gewünschten Inhalt zuzugreifen. Wenn Sie ein EEGS-Mitglied sind (mit Zugang zu EEGS-Publikationen und dem SEG Technical Program Expanded Abstracts), klicken Sie hier, um sich anzumelden und auf den gewünschten Inhalt zuzugreifen. Alle eBook-Inhalte können separat von Einzelpersonen und Institutionen gekauft werden. 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